从牛顿、三体到混沌：科学认知如何从简单到复杂

现代科学是从牛顿开始的，他是一位非常了不起的科学家。众所周知，他发现了万有引力定律还有牛顿力学，还是微积分发现人之一。从一个人对科学的贡献来讲，很少有人可以与牛顿相提并论，一生能如果做上述一件事，就能被称为非常伟大的科学家了，牛顿却做了三件。

　　关于牛顿，有一个家喻户晓的传说：牛顿在睡午觉的时候，一个苹果掉在他的头上，由此激发了他的灵感，从而发现了万有引力定律，这也是整个现代科学的起源。我的母校南京大学曾得到英国剑桥大学里这颗苹果树的种子，大家如果想看到这棵砸过牛顿的苹果树的后代，可以到南京大学的新校园。

　　这幅漫画上有一段很有意思的笑话，大意是：我想下面更难的事，是怎么申请科研经费，总不能因为苹果掉在我头上就可以得到资助了。

　　或许大家觉得牛顿发现万有引力是个偶然的幸运，但事实上并非如此，万有引力定律的发现经历了前人很多年的观测。

　　类似的例子还有开普勒发现行星运动三大定律，（编者注：椭圆定律：所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上；面积定律：行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积；调和定律：所有行星绕太阳一周的恒星时间的平方与它们轨道长半轴的立方成比例。）开普勒三大定律的发现同样也不是偶然，不是灵机一现。

　　历史上第一个被尿憋死的科学家：第谷·布拉赫

　　开普勒发现了行星运动三大定律之前，有一位丹麦的数学家第谷·布拉赫，他花了很多时间去观察行星的运动，那时观测精度比较差，他又是用肉眼来观察行星的运动，因此花费了很多精力。

　　丹麦皇帝甚至资助他在岛上修建天文台，花了很多钱来支持他的研究，有意思的是，当时他记录的纸都是一个专门的造纸厂提供的。

　　第谷和皇帝关系很好，但是皇帝死后，继任皇帝不喜欢他，他就跑到布拉格去，那里的皇帝也非常支持他进行科学研究，第谷得以经常出没皇宫。有一次他在皇宫喝了很多酒，回家后就死掉了，大家一直猜测他是什么原因死亡，有一种猜测是被别人下毒，另一种猜测是喝多了被尿憋死，在他死后的四百多年，也就是2001年，有人决定把他的尸体挖出来，来确定他的死因，结果发现果然不是毒死的，而是被尿憋死的，第谷成了历史上第一个被尿憋死的科学家。

　　又过了十年，关于第谷又有一个很大的争议。第谷性格怪异，在二十几岁的时候跟堂兄争吵谁是更伟大的数学家，最后两人决定决斗，结果第谷的鼻子在决斗中被割掉，大家很长时间不知道他的鼻子是金子做的还是银子做的。2010年，大家决定再把他的棺材挖出来研究一下，结果发现他的鼻子是铜做的。

　　第谷对天文学的观测奠定了开普勒的基础、奠定了万有引力定律的开始。作为他的学生，开普勒观测了火星运动。如果当初没有观测火星的话，大家会认为行星的轨道是圆形的，所以牛顿才终于发现了万有引力，而并不仅仅是因为一个苹果掉在他的头上。

　　用经典方法无法解决三体问题

　　当牛顿发现万有引力定律后，第一个问题是想解决多体问题，既有万有引力，又有牛顿力学，再加上微积分，这样的天文学问题变成了数学问题。

　　如何根据这些物理定律来找到行星运动的轨道，精确地推算轨道。太阳和一个行星在一起就是二体问题，我们已经知道二体问题的轨道是稳定性轨道，而太阳与两个行星放在一起就叫三体问题，天体越多就变成越复杂的数学问题。三体问题花了很长时间，最终人们发现三体问题是不可解的。

　　太阳系远远超过三体，有太阳，有行星，行星还有卫星，还有其他很多小天体。整个太阳系是一个庞大的体系，远远超过三体，是更复杂的多体问题。既然三体问题都没法解，对于多体问题，用经典的方法去解决太阳系的运动，显然也是不太可能的。

　　这里需要再提一下牛顿，他同样也是位“怪”人，上半辈子做了非常伟大的科学工作，但他是非常虔诚的基督徒，认为太阳系是不稳定的。人们会问太阳系既然不稳定，那人类怎么可能生存？牛顿的解释是，上帝每隔一段时间就来推一下行星或者球，让地球回到稳定的轨道上不会偏离太远。

　　牛顿一直试图用数学的方法来证明上帝的存在，用数学公式去解开行星的轨道，现在看来非常荒唐的，所以有人开玩笑的说，牛顿被苹果砸了后，大脑其实不太好了。

　　关于行星的稳定性，每一位伟大的科学家都会提出自己的见解，这些见解有时候介于数学分析，有时候介于猜测。

　　《三体》小说为什么非常有趣？

　　大家都知道数学家喜欢写一些猜测，比如经典的科幻作品《三体》，大家为什么觉得这本小说非常有趣呢？

　　我刚才提到了，因为三体问题无法用经典方法把解写出来。三体是一个混沌系统，最重要的特征是不可预测。三体的运动，假如时间不够长，是不可能预测未来会如何变化。《三体》小说就是利用这种特征，描述了一个世界有三个太阳，三个太阳的运转处于非常不可预测的状态，可能三个太阳突然出现，使星球上的所有生命热死，很可能三个太阳一段时间都不出现，让星球很冷，把所有生命冻死，这就是《三体》小说里的科学原理。

　　对人类而言，我们没必要担心太阳系是否稳定，科学家计算过，几百万年，甚至上亿年内都没有问题，即使不稳定，也要几亿年后才会出现的事了。

　　人类为什么要关心太阳系的稳定性呢？我想说科学的发展并不是从实用性的角度出发的。现代科学从牛顿力学而来，牛顿力学又从天体力学而来，而天体力学刚开始是满足人类的好奇心，但是科学给人类的生活带来革命性的发展与技术不一样，技术是竞技性的，科学是革命性的，现代的生活，所有一切是由于科学的发展，故而用功利性的眼光去看科学研究是错误的。

　　数学家有一个非常深刻的理论，叫KAM理论（编者注：KAM理论是经典力学里讨论近可积保守系统：哈密顿系统，可逆系统，保体积映射的动力学性态的著名的理论。K ，A，M 分别代表公认的于上个世纪五六十年代创立该理论的三位数学家，他们是：俄罗斯数学家 Kolmogorov和 Arnold，以及德国数学家 Moser），有很多数学家为此做出了很大的贡献。人们对力学系统所关心的问题之一，是运动过程的长期行为和它最终会达到的状态。动力系统的长时间行为可能有多种形式：平衡或不动点、周期振动、准周期运动、混沌，它们都是定常态。

　　牛顿力学的确定论观点曾因解决太阳系行星运行问题的成功而在很长时期占统治地位，但是，力学中的三体问题和重刚体绕固定点的运动问题成为困扰人们近一个世纪的难题，KAM定理通过对弱不可积系统运动稳定性条件的证明，说明了三维以上非线性系统的运动轨道出现混沌现象具有普遍性。

　　稳定性的对立面就是混沌，认知的进步使我们认识到世界越来越多元，越来越发现稳定性的可能性不大，大部分情况是动态的稳定，或者是混沌的系统。

　　庞加莱：第一个描述混沌的科学家

　　上图是挪威的皇帝奥斯卡二世，这是唯一的一位数学家皇帝，本科读了数学，一直喜欢科学和艺术，定期在皇宫组织科学讲堂。他在位时，创立了一本数学杂志：《Acta Mathematica》，现在仍是数学领域的四大杂志之一。

　　1887年，有一位数学家Mitag Lefler建议他设立一个科学大奖：谁能解决三体问题，就把这个奖颁给他。虽然现在我们知道三体问题不可解，但当时大家并不知道。

　　Mitag Lefler何许人也？我给大家讲一个故事，诺贝尔奖为什么没有数学家呢？传说是因为诺贝尔的情人被一位数学家拐骗走了，那位数学家就是Mitag Lefler。

　　1895年，皇帝请巴黎大学的数学家潘勒维到皇宫做讲座，当时潘勒维提出了一个猜测，现在叫潘勒维猜测，该猜测经过不到一百年，最后在我的博士论文里面用混沌问题得出了解。

　　大家可能要问为什么会花这么长时间呢？因为我们对科学的理解是一步一步发展的，庞加莱跟潘勒维是同期的数学家，其实我证明的猜测是庞加莱和潘勒维共同探讨的猜测，庞加莱写了关于如何解三体问题的一篇文章，虽然并没有解出来，但是获奖委员会最后还是决定给了他一个大奖。但有意思的是结果他的学生发现文章里面有错误，庞加莱又重新写了一篇文章，在这篇文章里，混沌的概念第一次在数学里被正确描述。

　　混沌最基本的概念：几何级的增长速度特别快

　　下面这个故事相信很多人都听过，一位数学家发明了国际象棋，皇帝非常高兴问他想要什么样的奖赏，数学家说很简单，你在棋盘里面第一格放1颗麦子，第二格放2颗麦子，第三格放4颗麦子，第四格放8颗麦子，再下面一格放16颗麦子，用这种方式把棋盘放满就够了。皇帝认为数学家的要求不是很高，只不过要了几颗麦子而已，当即答应了。实际总共需要多少颗麦子呢？棋盘一共是64格，第一格是1，最后一格是2的63次方，一共是2的64次方减1，大约是140万亿升的麦子。由此可见，几何级的增长速度特别快，这也是混沌里最基本的一个概念。

　　我们看上图这个盒子，一个盒子里面放入气体分子，分子在盒子里运动速度非常快，假如有一个小的误差，第一秒就加倍，第二秒又加倍，第三秒又加倍，60秒后，2的60次方，原先再小的误差都被刚才的这种方式加倍，由此可见，分子运动带来的后果是非常大的，而混沌的量有多少，取决于多长时间加倍一次。

　　在空气动力学中，空气移动比较快，可能零点几秒钟就加倍。太阳系运动相对较慢，误差加倍时间可能需要几十年、几百年，但有一个共同的性质存在，误差在一次一次的加倍！时间拉长后，你没法知道它原先的状态，因为一次次加倍带来的后果是将来不可预测，这就是将来不可预测原理。

　　气象系统是最典型的混沌系统。大家可能都遇到过，准备周末出去玩，一看气象预报是晴天，到周末却开始下大雨，大家可能都会指责气象台预报的不准，事实上气象是一个非常混沌的系统，基本没有办法长时间预测。本来广州应该晴空万里，但有一只蝴蝶在美国芝加哥挥了挥翅膀，它对空气的影响可能一秒钟以后就会加倍，两个星期以后就会影响着广州的气候。

　　这就是蝴蝶效应，也是为什么说气象系统是典型的混沌系统，假如要想精确预告天气，你必须知道芝加哥的每一只蝴蝶在两个星期之前干了什么，但有很多比蝴蝶更大的影响因素，比如汽车、飞机、人，想预告广州两个星期后的气候，就必须知道在地球另外一边发生的所有现象，这几乎是不可能的，所以短期气象预告可以的，但长期只能从概率上去预告。

　　混沌究竟是好还是坏？

　　大家都知道混沌非常地糟糕，那是不是就代表着不好？我讲一个代表混沌系统好的例子。现在中国、美国、印度等国家，大家都想进行太空探测，上月球、上火星，所以要发射很多卫星探测器。

　　1991年4月，日本发射了HiTen的月球探测器，上天后才发现燃料不够，大家可能觉得这种问题不应该出现，这是因为发射过程有很多不定因素，放太多的燃料，重量就会增加，多放一斤燃料就要少放一斤科学仪器，而燃料刚好够，但是遇到特殊情况就可能出现燃料不足的情况。美国加州理工大学JPL实验室，派了一位数学家叫Belbruno，协助日本人重新设计轨道。

　　解决方案是利用有限的燃料把探测器送到混沌区域，混沌区域的将来不定，可能会出现在任何地方，到达有利地点就让它过去，不利的地点就稍微花一些燃料推动一下，1991年10月份，科学家用这种方式，最后成功地把探测器送到了月球轨道。

　　某一天Belbruno给我打电话，说读了我的一篇文章，他在找混沌区域时，花了一个月的时间，如果先读了我的那篇关于混沌的文章，可能不用一个月就可以很快找到相应的区域，我听后非常高兴，没想到自己发表论文居然会有所应用。

　　本来以为这种事情日本发生了一次，以后就不太可能再发生了。谁知7年以后，1998年美国Hughe公司的一个探测器也遇到了同样的问题，发射后发现燃料不够，这时他们又找道Belbruno，很快，Belbruno帮他们重新设计了一条新的轨道，让探测器又成功抵达了原先的轨道。（注：文字信息未经夏志宏审校，图片来源于夏志宏演讲PPT）